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Übungen

Übung 1 - Einführung

  • s. Blatt 1 unten

Übung 2 - Reaktionsnetzwerke

  • s. Blatt 2 unten
  • Simulation der ODE kann auch durch ein anderes Programm erfolgen, bspw:
    • octave (einfach under Linux zu installieren, einfaches Beispiel in der Dokumention am Anfang)
    • Eine eigene Implementierung einer numerischen Integration (nichr schwierig).
    • python (etwas Einarbeitung und Installation diverser Pakete notwendig, dann aber cool)

Übung 3 - Qualitative Theorie: Fixpunkte

  1. Lineare Differenzialgleichung (mit konstanten Koeffizienten): Untersuchen Sie DGLs der folgenden Form:
    • dx/dt = A x
    • Dabei sei x ein zwei-dimensionaler Vektor (n=2) und A eine 2x2 Matrix reeller Werte. Der Einfachheit halber nehmen Sie für die Einträge von A einfach nur werte aus {-1, 0, 1}.
    • Probieren Sie verschiedene Systeme.
    • Wieviele Fixpunkte hat das System? Wovon hängt das ab?
    • Bestimmen Sie die Jakobi-Matrix (ja, das geht einfach) und interpretieren Sie ihre Eigenwerte.
    • Ist ein Eigenwert 0, so kann man für dieses System ausnahmsweise eine eindeutige Aussage treffen, welche?
    • Zeichnen Sie den Phasenraum und beispielhafte Trajektorien,
    • Gibt es eine Belegung für A, sodass sich unendlich viele (asymptotisch) stabile Fixpunkte ergeben?

  1. Untersuchen Sie die beiden folgenden DGLs:
    • dx/dt = k*x - y - x*(x*x + y*y), dy/dt = k * y + x - y*(x*x + y*y)
    • dx/dt = k*x - y + x*(x*x + y*y), dy/dt = k * y + x + y*(x*x + y*y)
    • Bestimmen Sie die Fixpunkte und wie deren Stabilität von k abhängen. (Keine Lust zum Rechnen? Fragen Sie das Computeralgebrasystem Ihres Vertrauens).
    • Zeigen Sie typisches Verhaltensweisen durch Simulation (entweder eigene numerische Integration oder ein Mathewerkzeug, z.B. octave
    • Kann man obiges System als chemische Differenzialgleichung schreieb? Wenn ja, wie lauten die Reaktionsregeln?

Übung 4 - SBML

  1. Schreiben Sie ein Programm, das ein SBML Modell einliest und eine Liste der Reaktionsregeln ausgibt, Tip: SBMLLib mach das Leben leicht.
  2. Wie sollten dabei Modifikatoren berücksichtigt werden?
  3. Schauen Sie sich die BiomodelsDB an und betrachten Sie sich ein interessantes Modell genauer. Geben Sie die Reaktionsregeln aus und beschreiben Sie die verwendeten kinetischen Gesetze.

Übung 5: Qualitative Theorie II

  • Modell der Aktivierung eines Gens: Gegeben seien folgende Reaktionsregelen:
       n X  +  Yoff  -->  n X  +  Yon     mit Ratenkonstante kon
       Yon --> Yoff                              mit Ratenkonstante koff
X: Transkriptionsfaktor (TF), Yoff: freie TF-Bindingsstelle von Gen Y, Yon: besetzte TF-Bindungsstelle, n: stoichimetrischer Faktor (beschreibt größe des Komplexes den der TF bildet um an den Promoter von Gen Y zu binden, z.B. n=2 Dimer)

  1. Erstellen Sie ein DGL-Modell für dieses System.
  2. Reduzieren Sie das Modell auf eine Dimension (Yon).
  3. Bestimmen Sie den stationären Zustand von Yon in Abhängigkeit von X (und den Parametern n, kon, koff)
  4. Plotten Sie diesen Zusammenhang für n=1, n=2, n=4 und n=1000000.

Übung 6: Qualitative Theorie III

  1. Finden Sie Beispiele chemischer Systeme die oszillieren und beschreiben Sie deren Reaktionsregeln und kinetischen Gestze (DGL Modell).

Übung 7+8: Genregulatorische Netzwerke I + II

Übung 9: Stochastische Simulation

  1. Gillespies Paper lesen: Gillespie 1977 Nur die ersten 7 Seiten, trotzdem eine echte Challange. Dort lernen Sie:
    1. grundlegende Idee, die zur Massenwirkungskinetik führt (nicht zentrales Thema hier, schnell überfliegen)
    2. Mastergleichung
    3. Gillespie Algorithmus

  1. Implementieren Sie den Gillespie Algorithmus
  2. Finden und simulieren Sie ein System, dess stoachastische Simulation sich signifikant von seiner determinstischen Simulation unterscheidet.

Die Mastergleichung ist im Grunde einfach eine lineare DGL: d p / dt = A p mit p ein Vektor von Wahrscheinlichkeiten (Summe aller p_i = 1). A eine nxn Matrix. Dabei wird angenommen, dass das stochastische System n Zustände besitzt. p_i(t) beschreibt die Wahrscheinlichkeit von Zustand i zum Zeitpunkt t. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes eines stochastischen Systems entwickelt sich deterministisch über die Zeit. Und dies kann durch eine lineare DGL beschrieben werden. Also super easy. Dumm nur, dass n in der Praxis i.d.R. sehr groß wird.

Mit dem Gillespie Algorithmus kann man eine stochastische Trajektorie (die dann immer anders ist) simulieren, deren Wahrscheinlichkeit exakt der Mastergleichung entspricht. (Deshalb "exact" im Titel).

Schauen Sie sich das Paper mal für 3h an. Überspringen Sie die kniffligen Stellen (davon gibt es zwei bis drei) und versuchen Sie den Ablauf des Gillespie Alg. zu verstehen und die Definition der dort verwendeten Konstanten. (Definitionen rausschreiben)

ÜBUNG TIP:

  ->A
A ->
A -> A + B
B ->
A : sei mRNA, die mit konstanter Rate k1 gebildet wird und mit Rate k2*A abgebaut wird
B : sei ein Protein, das mit Rate k3 * A gebildet und mit rate k4*B abgebaut wird.

Frage: Verhält sich das stochastische System anders, als das äquivalente deterministische?

(vgl. MIT Course https://www.youtube.com/watch?v=EXBO08-78IU SPOILER ALARM)

Übung 11-13: Übung zu Constraint-basierten Methoden (Metabolische Netzwerke)

Topic attachments
I Attachment History Action Size Date Who Comment
PDFpdf Uebung08.pdf r1 manage 81.2 K 2018-11-21 - 14:06 PeterDittrich Übung zur stochastischen Simulation
PDFpdf blatt01.pdf r1 manage 46.0 K 2017-10-16 - 12:10 PeterDittrich Blatt 1 - Systems and basic math
PDFpdf blatt02.pdf r1 manage 80.4 K 2017-10-23 - 09:24 PeterDittrich Blatt 2 - Reaktionsnetwerk, Modellieren, ODE, Simulation
Topic revision: r10 - 2019-10-28 - PeterDittrich
 
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